برای هر n طبیعی ثابت کنید ...

rezashiri

برای هر n طبیعی ثابت کنید :

الف) $2^{n}$ عاد نمی کند $n!$

ب) $121$ عاد نمی کند $n^{2}+3n+5$

ج)اگر n زوج باشد $323\mid 20^{n}+16^{n}-3^{n}-1$

د)فرض کنید $Q(n)$ نشان دهنده مجموع ارقام n باشد . ثابت کنید $Q(n)=Q(2n)\Rightarrow 9\mid n$

mrbayat

د)می دانیم: $n\equiv Q(n)(mod9)$

$n\equiv Q(n)(mod9)\Rightarrow n\equiv 2n\Rightarrow n\equiv 0\Rightarrow 9\mid n$

ArseneLupin

ج) $323=19\times17$ .چون $(19 , 17)=1$ پس باید ثابت کنیم عبارت بر 17 و19 بخشپذیر هست.ابتدا ثابت میکنیم بر 19 بخشپذیره.میدانیم: $20\equiv1(mod 19)$ پس $20^{n}\equiv1(mod 19)$ و همچنین: $16^{n}\equiv(-3)^{n}(mod 19)$

و چون $n$ زوجه داریم: $16^{n}\equiv 3^{n} (mod19)$ .پس $20^{n}+16^{n}-3^{n}-1\equiv1+3^{n}-3^{n}-1\equiv0 ( mod19)$ . برای بخشپذیری بر 17 هم $16^{n}\equiv(-1)^{n} (mod17)$ و چون زوجه $16^{n}\equiv1 (mod17)$ .همچنین داریم $20^{n}\equiv3^{n} (mod17)$ .پس: $20^{n}+16^{n}-3^{n}-1\equiv 3^{n}+1-3^{n}-1\equiv0 (mod17)$ .حکم ثابت شد.الف و ب هم تا چند دقیقه ی دیگه مینویسم.

rezashiri

قسمت "ب" یه مشکل داشت که ویرایش شد.(11 به 121 تغییر کرد)

rezashiri

راهنمایی:

الف)عامل ها!

ب) اگه 11 رو عاد کنه ...!